抛硬币真的是50/50吗？35万次实验的答案

就日常使用而言，是的：一枚普通硬币正面朝上和反面朝上的机会各占一半左右。但用手抛起再接住的硬币，有一个很小却能测量出来的倾向：更容易落回抛出前朝上的那一面。物理模型预测约为 51%，一项共 350,757 次抛掷的实验测得 50.8%。在线抛硬币没有“起始面”，结果由代码决定，就是 50/50。

抛硬币其实是一道物理题

硬币离开拇指的那一刻，它的轨迹就已经由向上的力度、翻转的速度和摆动的方式决定了。我们之所以觉得它随机，只是因为没有人能把这些初始条件控制得足够精确，从而“瞄准”某一面。

2007 年，Persi Diaconis、Susan Holmes 和 Richard Montgomery 在《SIAM Review》上发表了论文《Dynamical Bias in the Coin Toss》（抛硬币中的动力学偏差）。其中有两点特别值得了解：

• 机器可以让结果完全可预测。论文介绍了一台弹簧驱动的抛硬币机：仔细调好之后，正面朝上放进去的硬币，每一次都正面朝上落下。
• 人手抛出的硬币会“晃”。人抛硬币时，硬币的旋转轴往往会在空中不断改变方向（进动）。按照他们的模型，只要有晃动，硬币在飞行中朝向起始面的时间就会略多一点。他们用高速摄影测量了真实的抛掷，估计自然抛出并用手接住的硬币，落回起始面的概率约为 51%。

不过这个 51% 只基于少量高速摄影样本（能用于测量的只有 27 次抛掷），与其说是结论，不如说是一个等待大规模检验的预测。

35 万次抛掷的检验

František Bartoš 等研究者完成了这次检验：48 名参与者使用 44 种不同币种和面额的硬币，抛出后用手接住，记录硬币是否落回起始面，抛掷过程全程录像。论文于 2023 年以预印本形式发布，2025 年正式发表在《Journal of the American Statistical Association》上（期刊版，免费预印本）。主要结果如下：

• 350,757 次抛掷中，有 178,079 次落回起始面，比例为 50.8%，95% 可信区间为 50.6% 至 50.9%，与 51% 的预测非常接近。
• 只看正反面的话，正面比例为 50.0%，正反两面是均衡的。也就是说，只要起始面本身是随机的，硬币就是公平的。
• 偏差的大小因人而异，有些人几乎没有这种倾向。
• 随着抛的次数增多，偏差逐渐变小。作者推测，可能是熟能生巧，让抛法更稳、晃动更少。

作者也坦承一个局限：参与者知道研究在检验什么，因此不能完全排除有人刻意影响结果，不过他们认为这种可能性很小。

50.8% 在实际中意味着什么

假设有人能看到硬币的起始面，并且每次都猜这一面，那么 1000 次里他大约能猜中 508 次，而不是 500 次。对单次抛硬币来说，这点差别根本察觉不到。

这也解释了为什么需要这么多次抛掷。公平抛掷 n 次时，比例的随机波动（标准误）约为 50 ÷ √n 个百分点。抛 100 次时约为正负 5 个百分点，0.8 个百分点的差别会被完全淹没；抛 350,757 次时，波动降到 0.1 个百分点以下，差别才清楚地显现出来。

在桌上转硬币是另一回事

Diaconis 等人在同一篇论文里指出，让硬币立在桌面上旋转，结果可能明显偏离 50/50，因为它取决于硬币边缘形状和重心位置等细微差别。他们引用了 Jim Pitman 收集的课堂数据：103 名伯克利大学生每人把一枚美分硬币抛 100 次，再把同一枚硬币转 100 次。抛的结果和公平硬币没什么两样；转的结果却明显偏向反面，有好几名学生的正面比例不到 10%。

硬币的处理方式	研究怎么说
抛起后用手接住	接近公平，略偏向起始面（约 51%）
接住后再翻扣到另一只手背上	多翻了一次面，偏向随之反转，略偏向与起始面相反的一面
任由硬币落在桌上或地上弹跳	不在模型范围内；作者推测弹跳的硬币可能会在边缘上转一会儿，反而不如用手接住公平
立在桌上旋转	可能明显偏向某一面，取决于具体那枚硬币
在线抛硬币	没有物理意义上的起始面，由代码设定为 50/50

连续同面很正常：认识“赌徒谬误”

公平的硬币没有记忆。即使已经连续四次正面，下一次出现正面的概率仍然是 1/2。觉得“这回该轮到反面了”，就是常说的赌徒谬误。

这种错觉来自把两个问题混为一谈。开始之前，连续五次正面的概率是 (1/2)⁵ = 1/32，约 3.1%；可一旦前四次已经是正面，还不确定的只剩第五次，概率就是 1/2。而且任何一个具体的五次序列概率都一样是 1/32：“正正正正正”和“正反正反反”同样可能出现，只是前者看起来更特别。

连续同面（无论正面还是反面）比大多数人想象的要常见得多：

抛掷次数	连续同面的长度	至少出现一次的概率
10 次	4 次或以上	46.5%
20 次	5 次或以上	45.8%
50 次	6 次或以上	54.4%
100 次	7 次或以上	54.2%

以上都是精确值：先数出所有不含这么长连续段的正反序列，算出它们所占的比例，再用 100% 减去即可。反过来，“刚好一半对一半”却没有想象中常见：抛 100 次恰好 50 次正面的概率只有约 8%，不过正面次数落在 40 到 60 之间的概率约为 96.5%。

Pick4Us 的抛硬币工具会在结果面板显示当前连续相同面的次数。请把它当作已经发生的记录，而不是对下一次结果的提示。

用抛硬币做决定的正确方法

1. 先约定含义。抛之前说清楚（最好写下来）正面代表哪个选项、反面代表哪个，以及结果算不算数。看到结果之后再改规则，很容易让人觉得这次抛硬币“不公平”。
2. 在空中喊。用真硬币时，一人负责抛，另一人在硬币还在空中时喊正反，而且事先没有看到起始面。这样，那一点点偏向起始面的倾向对谁都没有帮助。
3. 用手接住，不要在桌上转。研究支持的是“抛起并接住”的情形。不要用在桌上转硬币的方式来决定任何事情。
4. 觉得一次太草率，就三局两胜。它不会让硬币更公平，双方的获胜概率仍然各占一半，但赢下来的感觉更踏实。三局两胜平均需要抛 2.5 次：有一半的情况前两次结果相同，比赛直接结束；另一半需要第三次来决胜。
5. 留意自己的反应。硬币落下的那一刻，如果你松了一口气或者有点失望，这本身就说明了你真正想要什么。Jaffé、Reutner 和 Greifeneder 2019 年在《PLOS ONE》上发表的两项小规模实验发现：当屏幕上的硬币（第二项实验中换成骰子）指向某个选项时，参与者对各个选项的感受会变得更强烈，很多人最后依据这种感受做决定，而不是机械地听从硬币。随机选择什么时候有用、什么时候不该用，可以参考我们的决策心理学文章。

在线抛硬币是怎么工作的

在 Pick4Us 抛硬币工具里按下“抛硬币”按钮时，结果在那一刻就已经确定：程序向浏览器的 Math.random() 要一个大于等于 0、小于 1 的数，小于 0.5 就是正面，否则就是反面。你看到的 3D 翻转只是动画，最后会停在已经选好的那一面。

• 没有起始面，没有晃动，也不需要接住，所以上面实验中的“同面偏差”并不适用。
• “经典币”和“狗狗币”两种样式只改变外观，每一次抛掷都由同一行判断代码决定。
• 结果面板会显示本次会话已抛的次数，以及当前连续相同面的次数。
• “三局两胜”模式固定为两名玩家：左边的玩家在出现正面时得分，右边的玩家在出现反面时得分，先得 2 分者获胜。
• 网站无法预设结果。

Math.random() 属于伪随机数生成器，用来决定谁先开始完全够用，但它不是为安全用途设计的。两者的区别可以看伪随机与真随机：在线随机数生成器如何工作。